Exercise 1: Binding Energy and Stability of Nuclei

Consider the isotopes Helium-3 (\(^{3}_{2}He\)) and Helium-4 (\(^{4}_{2}He\)). You are given the following atomic masses:

• Mass of Helium-3 (\(m(^{3}_{2}He)\)): 3.01603 u
• Mass of Helium-4 (\(m(^{4}_{2}He)\)): 4.00260 u
• Mass of a proton (\(m_p\)): 1.00728 u
• Mass of a neutron (\(m_n\)): 1.00867 u
• 1 u = 931.5 MeV/c²

Your tasks are to:

1. Calculate the mass defect (\(\Delta m\)) for both Helium-3 and Helium-4 nuclei.
2. Calculate the total binding energy (\(E_b\)) (in MeV) for both Helium-3 and Helium-4 nuclei.
3. Calculate the binding energy per nucleon (\(E_b/A\)) (in MeV/nucleon) for both Helium-3 and Helium-4 nuclei.
4. Based on your results in part (c), which of the two isotopes is more stable? Explain your reasoning.

Solution 1: Binding Energy and Stability of Nuclei

(a) Mass Defect (\(\Delta m\))

For Helium-3 (\(^{3}_{2}He\)):

• Number of protons (\(Z\)) = 2
• Number of neutrons (\(N\)) = \(A - Z = 3 - 2 = 1\)
• Mass of individual nucleons: \[ m_{nucleons}(^{3}He) = (2 \times m_p) + (1 \times m_n) = (2 \times 1.00728 \text{ u}) + (1 \times 1.00867 \text{ u}) = 2.01456 \text{ u} + 1.00867 \text{ u} = 3.02323 \text{ u} \]
• Mass defect: \[ \Delta m_{^{3}He} = m_{nucleons}(^{3}He) - m(^{3}He) = 3.02323 \text{ u} - 3.01603 \text{ u} = 0.00720 \text{ u} \]

For Helium-4 (\(^{4}_{2}He\)):

• Number of protons (\(Z\)) = 2
• Number of neutrons (\(N\)) = \(A - Z = 4 - 2 = 2\)
• Mass of individual nucleons: \[ m_{nucleons}(^{4}He) = (2 \times m_p) + (2 \times m_n) = (2 \times 1.00728 \text{ u}) + (2 \times 1.00867 \text{ u}) = 2.01456 \text{ u} + 2.01734 \text{ u} = 4.03190 \text{ u} \]
• Mass defect: \[ \Delta m_{^{4}He} = m_{nucleons}(^{4}He) - m(^{4}He) = 4.03190 \text{ u} - 4.00260 \text{ u} = 0.02930 \text{ u} \]

(b) Total Binding Energy (\(E_b\))

For Helium-3 (\(^{3}_{2}He\)):

• \[ E_b(^{3}He) = \Delta m_{^{3}He} \times 931.5 \text{ MeV/u} = 0.00720 \text{ u} \times 931.5 \text{ MeV/u} = 6.7068 \text{ MeV} \]

For Helium-4 (\(^{4}_{2}He\)):

• \[ E_b(^{4}He) = \Delta m_{^{4}He} \times 931.5 \text{ MeV/u} = 0.02930 \text{ u} \times 931.5 \text{ MeV/u} = 27.29295 \text{ MeV} \]

(c) Binding Energy per Nucleon (\(E_b/A\))

For Helium-3 (\(^{3}_{2}He\)):

• \[ E_b/A(^{3}He) = \frac{E_b(^{3}He)}{A} = \frac{6.7068 \text{ MeV}}{3} = 2.2356 \text{ MeV/nucleon} \]

For Helium-4 (\(^{4}_{2}He\)):

• \[ E_b/A(^{4}He) = \frac{E_b(^{4}He)}{A} = \frac{27.29295 \text{ MeV}}{4} = 6.8232 \text{ MeV/nucleon} \]

(d) Stability Comparison

Based on the binding energy per nucleon, Helium-4 (\(^{4}_{2}He\)) is more stable than Helium-3 (\(^{3}_{2}He\)).

Reasoning: The binding energy per nucleon represents the average energy required to remove a single nucleon from the nucleus. A higher binding energy per nucleon indicates that each nucleon is more tightly bound within the nucleus, requiring more energy to separate it. Therefore, a nucleus with a higher binding energy per nucleon is generally more stable. In this case, Helium-4 has a significantly higher binding energy per nucleon (6.8232 MeV/nucleon) compared to Helium-3 (2.2356 MeV/nucleon), indicating that the nucleons in Helium-4 are more strongly bound, making it a more stable nucleus.

Exercise 2: The Aston Curve and Nuclear Reactions

The Aston curve shows the binding energy per nucleon as a function of the mass number (A). Consider the following approximate binding energies per nucleon:

• Helium-4 (\(^{4}_{2}He\)): 7 MeV/nucleon
• Carbon-12 (\(^{12}_{6}C\)): 7.7 MeV/nucleon
• Iron-56 (\(^{56}_{26}Fe\)): 8.8 MeV/nucleon
• Uranium-235 (\(^{235}_{92}U\)): 7.6 MeV/nucleon

Your tasks are to:

1. Calculate the total binding energy for each of these nuclei.
2. Consider a hypothetical nuclear fusion reaction where three Helium-4 nuclei fuse to form a Carbon-12 nucleus: \[ 3 \ ^{4}_{2}He \rightarrow ^{12}_{6}C + \text{Energy} \] Calculate the energy released (in MeV) in this reaction, based on the binding energies you calculated in part (a).
3. Consider a hypothetical nuclear fission reaction where a Uranium-235 nucleus splits into two smaller nuclei, each with a mass number of approximately 117.5 (assume, for simplicity, that the average binding energy per nucleon of these fission products is around 8.5 MeV/nucleon). Estimate the energy released (in MeV) in this fission reaction.
4. Based on the binding energy per nucleon values and your calculations, explain why both nuclear fusion of light nuclei (like Helium) and nuclear fission of heavy nuclei (like Uranium) can release energy. Relate your explanation to the general trend of the Aston curve.

Solution 2: The Aston Curve and Nuclear Reactions

(a) Calculation of the Total Binding Energy (\(E_b\))

• Helium-4 (\(^{4}_{2}He\)): \[ E_b(^{4}He) = 7 \text{ MeV/nucleon} \times 4 = 28 \text{ MeV} \]
• Carbon-12 (\(^{12}_{6}C\)): \[ E_b(^{12}C) = 7.7 \text{ MeV/nucleon} \times 12 = 92.4 \text{ MeV} \]
• Iron-56 (\(^{56}_{26}Fe\)): \[ E_b(^{56}Fe) = 8.8 \text{ MeV/nucleon} \times 56 = 492.8 \text{ MeV} \]
• Uranium-235 (\(^{235}_{92}U\)): \[ E_b(^{235}U) = 7.6 \text{ MeV/nucleon} \times 235 = 1786 \text{ MeV} \]

(b) Energy Released in the Fusion of Helium-4 to Carbon-12

Reaction: \(3 \ ^{4}_{2}He \rightarrow ^{12}_{6}C + \text{Energy}\)

• Total binding energy of reactants: \(3 \times 28 \text{ MeV} = 84 \text{ MeV}\)
• Total binding energy of product: \(92.4 \text{ MeV}\)
• Energy released: \(92.4 \text{ MeV} - 84 \text{ MeV} = 8.4 \text{ MeV}\)

(c) Energy Released in the Fission of Uranium-235

• Total binding energy of Uranium-235: \(1786 \text{ MeV}\)
• Total binding energy of fission products (approx.): \(2 \times (8.5 \text{ MeV/nucleon} \times 117.5 \text{ nucleons}) = 1997.5 \text{ MeV}\)
• Energy released: \(1997.5 \text{ MeV} - 1786 \text{ MeV} = 211.5 \text{ MeV}\)

(d) Explanation Based on the Aston Curve

The Aston curve shows that lighter nuclei have lower binding energy per nucleon. Fusion of these lighter nuclei into heavier ones (up to the region of Iron) increases the binding energy per nucleon, releasing energy. Conversely, very heavy nuclei have a slightly lower binding energy per nucleon than medium-mass nuclei. Fission of these heavy nuclei into medium-mass fragments also increases the binding energy per nucleon, releasing energy. Both processes move towards the region of higher stability on the Aston curve.

Exercice 1 : Énergie de liaison et stabilité des noyaux

Considérez les isotopes Hélium-3 (\(^{3}_{2}He\)) et Hélium-4 (\(^{4}_{2}He\)). Les masses atomiques suivantes vous sont données :

• Masse de l'Hélium-3 (\(m(^{3}_{2}He)\)) : 3.01603 u
• Masse de l'Hélium-4 (\(m(^{4}_{2}He)\)) : 4.00260 u
• Masse d'un proton (\(m_p\)) : 1.00728 u
• Masse d'un neutron (\(m_n\)) : 1.00867 u
• 1 u = 931.5 MeV/c²

Vos tâches sont de :

1. Calculer le défaut de masse (\(\Delta m\)) pour les noyaux d'Hélium-3 et d'Hélium-4.
2. Calculer l'énergie de liaison totale (\(E_b\)) (en MeV) pour les noyaux d'Hélium-3 et d'Hélium-4.
3. Calculer l'énergie de liaison par nucléon (\(E_b/A\)) (en MeV/nucléon) pour les noyaux d'Hélium-3 et d'Hélium-4.
4. En vous basant sur vos résultats de la partie (c), lequel des deux isotopes est le plus stable ? Expliquez votre raisonnement.

Solution 1 : Énergie de liaison et stabilité des noyaux

(a) Défaut de masse (\(\Delta m\))

Pour l'Hélium-3 (\(^{3}_{2}He\)) :

• Nombre de protons (\(Z\)) = 2
• Nombre de neutrons (\(N\)) = \(A - Z = 3 - 2 = 1\)
• Masse des nucléons individuels : \[ m_{nucléons}(^{3}He) = (2 \times m_p) + (1 \times m_n) = (2 \times 1.00728 \text{ u}) + (1 \times 1.00867 \text{ u}) = 2.01456 \text{ u} + 1.00867 \text{ u} = 3.02323 \text{ u} \]
• Défaut de masse : \[ \Delta m_{^{3}He} = m_{nucléons}(^{3}He) - m(^{3}He) = 3.02323 \text{ u} - 3.01603 \text{ u} = 0.00720 \text{ u} \]

Pour l'Hélium-4 (\(^{4}_{2}He\)) :

• Nombre de protons (\(Z\)) = 2
• Nombre de neutrons (\(N\)) = \(A - Z = 4 - 2 = 2\)
• Masse des nucléons individuels : \[ m_{nucléons}(^{4}He) = (2 \times m_p) + (2 \times m_n) = (2 \times 1.00728 \text{ u}) + (2 \times 1.00867 \text{ u}) = 2.01456 \text{ u} + 2.01734 \text{ u} = 4.03190 \text{ u} \]
• Défaut de masse : \[ \Delta m_{^{4}He} = m_{nucléons}(^{4}He) - m(^{4}He) = 4.03190 \text{ u} - 4.00260 \text{ u} = 0.02930 \text{ u} \]

(b) Énergie de liaison totale (\(E_b\))

Pour l'Hélium-3 (\(^{3}_{2}He\)) :

• \[ E_b(^{3}He) = \Delta m_{^{3}He} \times 931.5 \text{ MeV/u} = 0.00720 \text{ u} \times 931.5 \text{ MeV/u} = 6.7068 \text{ MeV} \]

Pour l'Hélium-4 (\(^{4}_{2}He\)) :

• \[ E_b(^{4}He) = \Delta m_{^{4}He} \times 931.5 \text{ MeV/u} = 0.02930 \text{ u} \times 931.5 \text{ MeV/u} = 27.29295 \text{ MeV} \]

(c) Énergie de liaison par nucléon (\(E_b/A\))

Pour l'Hélium-3 (\(^{3}_{2}He\)) :

• \[ E_b/A(^{3}He) = \frac{E_b(^{3}He)}{A} = \frac{6.7068 \text{ MeV}}{3} = 2.2356 \text{ MeV/nucléon} \]

Pour l'Hélium-4 (\(^{4}_{2}He\)) :

• \[ E_b/A(^{4}He) = \frac{E_b(^{4}He)}{A} = \frac{27.29295 \text{ MeV}}{4} = 6.8232 \text{ MeV/nucléon} \]

(d) Comparaison de la stabilité

En se basant sur l'énergie de liaison par nucléon, l'Hélium-4 (\(^{4}_{2}He\)) est plus stable que l'Hélium-3 (\(^{3}_{2}He\)).

Raisonnement : L'énergie de liaison par nucléon représente l'énergie moyenne requise pour retirer un seul nucléon du noyau. Une énergie de liaison par nucléon plus élevée indique que chaque nucléon est plus fortement lié à l'intérieur du noyau, nécessitant plus d'énergie pour le séparer. Par conséquent, un noyau avec une énergie de liaison par nucléon plus élevée est généralement plus stable. Dans ce cas, l'Hélium-4 a une énergie de liaison par nucléon significativement plus élevée (6.8232 MeV/nucléon) comparée à celle de l'Hélium-3 (2.2356 MeV/nucléon), indiquant que les nucléons de l'Hélium-4 sont plus fortement liés, ce qui en fait un noyau plus stable.

Exercice 2 : La courbe d'Aston et les réactions nucléaires

La courbe d'Aston montre l'énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de masse (A). Considérez les énergies de liaison par nucléon approximatives suivantes :

• Hélium-4 (\(^{4}_{2}He\)) : 7 MeV/nucléon
• Carbone-12 (\(^{12}_{6}C\)) : 7.7 MeV/nucléon
• Fer-56 (\(^{56}_{26}Fe\)) : 8.8 MeV/nucléon
• Uranium-235 (\(^{235}_{92}U\)) : 7.6 MeV/nucléon

Vos tâches sont de :

1. Calculer l'énergie de liaison totale pour chacun de ces noyaux.
2. Considérer une réaction de fusion nucléaire hypothétique où trois noyaux d'Hélium-4 fusionnent pour former un noyau de Carbone-12 : \[ 3 \ ^{4}_{2}He \rightarrow ^{12}_{6}C + \text{Énergie} \] Calculer l'énergie libérée (en MeV) dans cette réaction, en vous basant sur les énergies de liaison que vous avez calculées en partie (a).
3. Considérer une réaction de fission nucléaire hypothétique où un noyau d'Uranium-235 se divise en deux noyaux plus petits, chacun ayant un nombre de masse d'environ 117.5 (supposez, pour simplifier, que l'énergie de liaison par nucléon moyenne de ces produits de fission est d'environ 8.5 MeV/nucléon). Estimer l'énergie libérée (en MeV) dans cette réaction de fission.
4. En vous basant sur les valeurs de l'énergie de liaison par nucléon et vos calculs, expliquer pourquoi la fusion nucléaire des noyaux légers (comme l'hélium) et la fission nucléaire des noyaux lourds (comme l'uranium) peuvent libérer de l'énergie. Relier votre explication à la tendance générale de la courbe d'Aston.

Solution 2 : La courbe d'Aston et les réactions nucléaires

(a) Calcul de l'énergie de liaison totale (\(E_b\))

• Hélium-4 (\(^{4}_{2}He\)) : \[ E_b(^{4}He) = 7 \text{ MeV/nucléon} \times 4 = 28 \text{ MeV} \]
• Carbone-12 (\(^{12}_{6}C\)) : \[ E_b(^{12}C) = 7.7 \text{ MeV/nucléon} \times 12 = 92.4 \text{ MeV} \]
• Fer-56 (\(^{56}_{26}Fe\)) : \[ E_b(^{56}Fe) = 8.8 \text{ MeV/nucléon} \times 56 = 492.8 \text{ MeV} \]
• Uranium-235 (\(^{235}_{92}U\)) : \[ E_b(^{235}U) = 7.6 \text{ MeV/nucléon} \times 235 = 1786 \text{ MeV} \]

(b) Énergie libérée dans la fusion de l'Hélium-4 en Carbone-12

Réaction : \(3 \ ^{4}_{2}He \rightarrow ^{12}_{6}C + \text{Énergie}\)

• Énergie de liaison totale des réactifs : \(3 \times 28 \text{ MeV} = 84 \text{ MeV}\)
• Énergie de liaison totale du produit : \(92.4 \text{ MeV}\)
• Énergie libérée : \(92.4 \text{ MeV} - 84 \text{ MeV} = 8.4 \text{ MeV}\)

(c) Énergie libérée dans la fission de l'Uranium-235

• Énergie de liaison totale de l'Uranium-235 : \(1786 \text{ MeV}\)
• Énergie de liaison totale des produits de fission (approx.) : \(2 \times (8.5 \text{ MeV/nucléon} \times 117.5 \text{ nucléons}) = 1997.5 \text{ MeV}\)
• Énergie libérée : \(1997.5 \text{ MeV} - 1786 \text{ MeV} = 211.5 \text{ MeV}\)

(d) Explication basée sur la courbe d'Aston

La courbe d'Aston montre que les noyaux légers ont une énergie de liaison par nucléon plus faible. La fusion de ces noyaux légers en noyaux plus lourds (jusqu'à la région du Fer) augmente l'énergie de liaison par nucléon, libérant de l'énergie. Inversement, les noyaux très lourds ont une énergie de liaison par nucléon légèrement inférieure à celle des noyaux de masse moyenne. La fission de ces noyaux lourds en fragments de masse moyenne augmente également l'énergie de liaison par nucléon, libérant de l'énergie. Les deux processus tendent vers la région de plus grande stabilité sur la courbe d'Aston.