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💓Exercice 5
Exercice : Évolution de la masse du soleil au cours de sa vie
Exercice : Évolution de la masse du soleil au cours de sa vie
Le soleil, de masse actuelle \(M_s = 2 \times 10^{30}\) kg, est un géant réacteur de fusion nucléaire qui produit une puissance radiative \(P = 3.9 \times 10^{26}\) W supposée constante.
- Calculer la masse perdue par le soleil sachant que son âge est \(4.5 \times 10^{9}\) ans.
- L'une des réactions nucléaires de fusion produite dans le cœur du soleil, transformant l'hydrogène en hélium, est :
\[
4 \ ^1_1H \longrightarrow \ ^4_2He + 2 \ ^0_{+1}e + 2 \nu + 25.7 \text{ MeV}
\]
La masse du cœur (dont 35% en masse d'hydrogène, 64% en masse d'hélium et 1% en masse d'autres éléments) représente le huitième de la masse du soleil.
- Calculer le nombre des noyaux hélium produit par la transformation totale de l'hydrogène.
- En déduire l'énergie rayonnante produite par la transformation de l'hydrogène en hélium.
- L'hydrogène se termine ; le soleil est formé d'hélium par fusion, l'hélium se transforme en carbone selon la réaction :
\[
3 \ ^4_2He \longrightarrow \ ^{12}_6C + \gamma + 7.27 \text{ MeV}
\]
- Calculer le nombre total de noyaux d'hélium dans le cœur.
- En déduire l'énergie rayonnante par la transformation totale de l'hélium en carbone.
- Le soleil meurt quand son cœur ne contient que du carbone.
- Calculer l'énergie rayonnante par le soleil d'ici jusqu'à sa mort.
- Après combien de temps, le soleil meurt-il ?
Solution : Évolution de la masse du soleil au cours de sa vie
Solution : Évolution de la masse du soleil au cours de sa vie
- Calcul de la masse perdue par le soleil :
L'énergie totale rayonnée par le soleil pendant son âge est :
\[
E_{totale} = P \times t = (3.9 \times 10^{26} \text{ W}) \times (4.5 \times 10^{9} \text{ ans} \times 3.154 \times 10^{7} \text{ s/an})
\]
\[
E_{totale} \approx 5.53 \times 10^{43} \text{ J}
\]
En utilisant l'équivalence masse-énergie \(E = mc^2\), la masse perdue est :
\[
\Delta m = \frac{E_{totale}}{c^2} = \frac{5.53 \times 10^{43} \text{ J}}{(3 \times 10^{8} \text{ m/s})^2} \approx 6.14 \times 10^{26} \text{ kg}
\]
- Transformation de l'hydrogène en hélium :
- Nombre de noyaux hélium produits :
Masse d'hydrogène dans le cœur : \(m_H = 0.35 \times \frac{1}{8} \times M_s = 0.35 \times \frac{1}{8} \times 2 \times 10^{30} \text{ kg} = 8.75 \times 10^{28} \text{ kg}\)
Nombre de moles d'hydrogène : \(n_H = \frac{m_H}{M_{mol}(H)} = \frac{8.75 \times 10^{28} \text{ kg}}{1.008 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}} \approx 8.68 \times 10^{31} \text{ mol}\)
Nombre d'atomes d'hydrogène : \(N_H = n_H \times N_A = (8.68 \times 10^{31} \text{ mol}) \times (6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}) \approx 5.23 \times 10^{55}\)
Pour 4 noyaux d'hydrogène, 1 noyau d'hélium est produit. Donc, le nombre de noyaux d'hélium produits est :
\[
N_{He} = \frac{N_H}{4} = \frac{5.23 \times 10^{55}}{4} \approx 1.31 \times 10^{55} \text{ noyaux}
\]
- Énergie rayonnante produite :
L'énergie libérée par la formation d'un noyau d'hélium est 25.7 MeV. L'énergie totale rayonnée est :
\[
E_{rayonnee\_H} = N_{He} \times 25.7 \text{ MeV} = (1.31 \times 10^{55}) \times (25.7 \times 1.602 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}) \approx 5.40 \times 10^{43} \text{ J}
\]
- Transformation de l'hélium en carbone :
- Nombre total de noyaux d'hélium dans le cœur :
Masse d'hélium dans le cœur : \(m_{He\_initial} = 0.64 \times \frac{1}{8} \times M_s = 0.64 \times \frac{1}{8} \times 2 \times 10^{30} \text{ kg} = 1.6 \times 10^{29} \text{ kg}\)
Masse d'hélium formé par la fusion de l'hydrogène : \(m_{He\_formé} = N_{He} \times M_{noyau}(He) = (1.31 \times 10^{55}) \times (4.0026 \text{ u} \times 1.66 \times 10^{-27} \text{ kg/u}) \approx 8.70 \times 10^{28} \text{ kg}\)
Masse totale d'hélium dans le cœur avant la transformation en carbone : \(m_{He\_total} = m_{He\_initial} + m_{He\_formé} = 1.6 \times 10^{29} \text{ kg} + 8.70 \times 10^{28} \text{ kg} = 2.47 \times 10^{29} \text{ kg}\)
Nombre total de noyaux d'hélium : \(N_{He\_total} = \frac{m_{He\_total}}{M_{noyau}(He)} = \frac{2.47 \times 10^{29} \text{ kg}}{4.0026 \times 1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}} \approx 3.73 \times 10^{55} \text{ noyaux}\)
- Énergie rayonnante par la transformation totale de l'hélium en carbone :
Pour 3 noyaux d'hélium, l'énergie libérée est 7.27 MeV. Le nombre de réactions est \(N_{C\_formé} = \frac{N_{He\_total}}{3} \approx 1.24 \times 10^{55}\)
L'énergie totale rayonnée est :
\[
E_{rayonnee\_He} = N_{C\_formé} \times 7.27 \text{ MeV} = (1.24 \times 10^{55}) \times (7.27 \times 1.602 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}) \approx 1.44 \times 10^{43} \text{ J}
\]
- Mort du soleil (cœur en carbone) :
- Énergie rayonnante totale du soleil jusqu'à sa mort :
L'énergie totale rayonnée sera approximativement la somme de l'énergie due à la fusion de l'hydrogène et de l'hélium :
\[
E_{totale\_vie} = E_{rayonnee\_H} + E_{rayonnee\_He} = 5.40 \times 10^{43} \text{ J} + 1.44 \times 10^{43} \text{ J} \approx 6.84 \times 10^{43} \text{ J}
\]
- Temps avant la mort du soleil :
En supposant une puissance radiative constante, le temps total avant la mort du soleil est :
\[
t_{mort} = \frac{E_{totale\_vie}}{P} = \frac{6.84 \times 10^{43} \text{ J}}{3.9 \times 10^{26} \text{ W}} \approx 1.75 \times 10^{17} \text{ s}
\]
\[
t_{mort} \approx \frac{1.75 \times 10^{17}}{3.154 \times 10^{7} \text{ s/an}} \approx 5.55 \times 10^{9} \text{ ans}
\]
💓Exercice 6 : Énergie libérée par fusion
- Calculer le nombre des noyaux hélium produit par la transformation totale de l'hydrogène.
- En déduire l'énergie rayonnante produite par la transformation de l'hydrogène en hélium.
- Calculer le nombre total de noyaux d'hélium dans le cœur.
- En déduire l'énergie rayonnante par la transformation totale de l'hélium en carbone.
- Calculer l'énergie rayonnante par le soleil d'ici jusqu'à sa mort.
- Après combien de temps, le soleil meurt-il ?
L'énergie totale rayonnée par le soleil pendant son âge est : \[ E_{totale} = P \times t = (3.9 \times 10^{26} \text{ W}) \times (4.5 \times 10^{9} \text{ ans} \times 3.154 \times 10^{7} \text{ s/an}) \] \[ E_{totale} \approx 5.53 \times 10^{43} \text{ J} \] En utilisant l'équivalence masse-énergie \(E = mc^2\), la masse perdue est : \[ \Delta m = \frac{E_{totale}}{c^2} = \frac{5.53 \times 10^{43} \text{ J}}{(3 \times 10^{8} \text{ m/s})^2} \approx 6.14 \times 10^{26} \text{ kg} \]
- Nombre de noyaux hélium produits :
Masse d'hydrogène dans le cœur : \(m_H = 0.35 \times \frac{1}{8} \times M_s = 0.35 \times \frac{1}{8} \times 2 \times 10^{30} \text{ kg} = 8.75 \times 10^{28} \text{ kg}\)
Nombre de moles d'hydrogène : \(n_H = \frac{m_H}{M_{mol}(H)} = \frac{8.75 \times 10^{28} \text{ kg}}{1.008 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}} \approx 8.68 \times 10^{31} \text{ mol}\)
Nombre d'atomes d'hydrogène : \(N_H = n_H \times N_A = (8.68 \times 10^{31} \text{ mol}) \times (6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}) \approx 5.23 \times 10^{55}\)
Pour 4 noyaux d'hydrogène, 1 noyau d'hélium est produit. Donc, le nombre de noyaux d'hélium produits est : \[ N_{He} = \frac{N_H}{4} = \frac{5.23 \times 10^{55}}{4} \approx 1.31 \times 10^{55} \text{ noyaux} \]
- Énergie rayonnante produite :
L'énergie libérée par la formation d'un noyau d'hélium est 25.7 MeV. L'énergie totale rayonnée est : \[ E_{rayonnee\_H} = N_{He} \times 25.7 \text{ MeV} = (1.31 \times 10^{55}) \times (25.7 \times 1.602 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}) \approx 5.40 \times 10^{43} \text{ J} \]
- Nombre total de noyaux d'hélium dans le cœur :
Masse d'hélium dans le cœur : \(m_{He\_initial} = 0.64 \times \frac{1}{8} \times M_s = 0.64 \times \frac{1}{8} \times 2 \times 10^{30} \text{ kg} = 1.6 \times 10^{29} \text{ kg}\)
Masse d'hélium formé par la fusion de l'hydrogène : \(m_{He\_formé} = N_{He} \times M_{noyau}(He) = (1.31 \times 10^{55}) \times (4.0026 \text{ u} \times 1.66 \times 10^{-27} \text{ kg/u}) \approx 8.70 \times 10^{28} \text{ kg}\)
Masse totale d'hélium dans le cœur avant la transformation en carbone : \(m_{He\_total} = m_{He\_initial} + m_{He\_formé} = 1.6 \times 10^{29} \text{ kg} + 8.70 \times 10^{28} \text{ kg} = 2.47 \times 10^{29} \text{ kg}\)
Nombre total de noyaux d'hélium : \(N_{He\_total} = \frac{m_{He\_total}}{M_{noyau}(He)} = \frac{2.47 \times 10^{29} \text{ kg}}{4.0026 \times 1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}} \approx 3.73 \times 10^{55} \text{ noyaux}\)
- Énergie rayonnante par la transformation totale de l'hélium en carbone :
Pour 3 noyaux d'hélium, l'énergie libérée est 7.27 MeV. Le nombre de réactions est \(N_{C\_formé} = \frac{N_{He\_total}}{3} \approx 1.24 \times 10^{55}\)
L'énergie totale rayonnée est : \[ E_{rayonnee\_He} = N_{C\_formé} \times 7.27 \text{ MeV} = (1.24 \times 10^{55}) \times (7.27 \times 1.602 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}) \approx 1.44 \times 10^{43} \text{ J} \]
- Énergie rayonnante totale du soleil jusqu'à sa mort :
L'énergie totale rayonnée sera approximativement la somme de l'énergie due à la fusion de l'hydrogène et de l'hélium : \[ E_{totale\_vie} = E_{rayonnee\_H} + E_{rayonnee\_He} = 5.40 \times 10^{43} \text{ J} + 1.44 \times 10^{43} \text{ J} \approx 6.84 \times 10^{43} \text{ J} \]
- Temps avant la mort du soleil :
En supposant une puissance radiative constante, le temps total avant la mort du soleil est : \[ t_{mort} = \frac{E_{totale\_vie}}{P} = \frac{6.84 \times 10^{43} \text{ J}}{3.9 \times 10^{26} \text{ W}} \approx 1.75 \times 10^{17} \text{ s} \] \[ t_{mort} \approx \frac{1.75 \times 10^{17}}{3.154 \times 10^{7} \text{ s/an}} \approx 5.55 \times 10^{9} \text{ ans} \]
Calculez l'énergie libérée lorsque deux noyaux de deutérium fusionnent pour former de l'hélium-4 :
2 2H → 4He
Données :
- El(2H) = 2,23 MeV
- El(4He) = 28,30 MeV
Solution :
Énergie libérée = El(produits) - El(réactifs)
Exercice 1 : Énergie de liaison et stabilité des noyaux
Considérez les isotopes Hélium-3 (\(^{3}_{2}He\)) et Hélium-4 (\(^{4}_{2}He\)). Les masses atomiques suivantes vous sont données :
- Masse de l'Hélium-3 (\(m(^{3}_{2}He)\)) : 3.01603 u
- Masse de l'Hélium-4 (\(m(^{4}_{2}He)\)) : 4.00260 u
- Masse d'un proton (\(m_p\)) : 1.00728 u
- Masse d'un neutron (\(m_n\)) : 1.00867 u
- 1 u = 931.5 MeV/c²
Vos tâches sont de :
- Calculer le défaut de masse (\(\Delta m\)) pour les noyaux d'Hélium-3 et d'Hélium-4.
- Calculer l'énergie de liaison totale (\(E_b\)) (en MeV) pour les noyaux d'Hélium-3 et d'Hélium-4.
- Calculer l'énergie de liaison par nucléon (\(E_b/A\)) (en MeV/nucléon) pour les noyaux d'Hélium-3 et d'Hélium-4.
- En vous basant sur vos résultats de la partie (c), lequel des deux isotopes est le plus stable ? Expliquez votre raisonnement.
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